Saiba o que é o Teorema do Limite Central e como ele controla o mundo

Para quem não é matemático ou estatístico, o Teorema do Limite Central (TLC) pode ser um termo desconhecido, mas você pode já ter ouvido falar de um conceito relacionado: a “distribuição normal”, também chamada de “curva do sino”. 

Em declaração à revista científica Britannica, Richard Routledge, professor de estatística da Universidade de Simon Fraser, em Burnaby, no Canadá, explicou que esse teorema estabelece que a distribuição normal é aquela para a qual a média de quase qualquer conjunto de variáveis independentes geradas aleatoriamente converge rapidamente. 

Isso explica por que a distribuição normal é tão comum e costuma ser uma excelente aproximação para a média de uma coleção de dados, mesmo com apenas 10 variáveis.

Existem várias versões do teorema, dependendo do problema específico que está sendo abordado. A versão mais comum diz que a soma de N variáveis aleatórias independentes, com qualquer distribuição e variâncias semelhantes, se aproxima de uma distribuição de Gauss (distribuição normal) conforme N aumenta.

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Isso significa que, sob certas condições, a distribuição de uma coleção de variáveis tende a formar a clássica “curva do sino”, em que a maioria dos resultados se concentra em torno da média, e as probabilidades diminuem à medida que se afastam dessa média.

Grant Sanderson, do canal 3Blue1Brown no YouTube, explica o teorema de forma mais simples. Imagine que você tem uma variável aleatória, ou seja, um processo onde cada resultado está associado a um número. À medida que o número de amostras aumenta, a distribuição dos resultados se parecerá cada vez mais com uma curva de sino. Essa é a essência do Teorema do Limite Central.

Quando o Teorema do Limite Central pode ser aplicado

Para aplicar o teorema, algumas condições, que são relativamente fáceis de alcançar, devem ser cumpridas. As variáveis devem ser independentes e distribuídas de forma idêntica (i.i.d.), o que significa que cada variável não deve influenciar as outras e todas devem ter a mesma distribuição de probabilidade. 

Um exemplo clássico seria rolar um dado: cada lançamento é independente do anterior e segue o mesmo conjunto de probabilidades.

Outro exemplo é o tabuleiro de Galton, um dispositivo criado por Francis Galton para demonstrar o TLC. No tabuleiro, cada pulo em um pino é um processo aleatório com dois possíveis resultados. Ao longo de vários pinos, a bola segue um caminho que, no final, resulta em uma distribuição que se aproxima da forma de sino.

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Mas, por que o TLC é tão útil? Além de prever resultados médios, a distribuição normal também permite calcular a probabilidade de variações em torno dessa média. Segundo Sanderson, cerca de 68% dos valores de uma distribuição normal estarão dentro de um desvio padrão da média, 95% dentro de dois desvios e 99,7% dentro de três desvios.

Isso tem aplicações práticas no cotidiano. Por exemplo, ao fabricar calças, sabendo que a altura média do chão até o quadril de homens nos EUA é de 88,74 cm, com um desvio padrão de 4,71 cm, uma empresa pode produzir calças com comprimentos de pernas que cubram 68% ou até 95% da população-alvo, dependendo da faixa de tamanhos que escolher.

Outro uso interessante do TLC é verificar a veracidade de um experimento. Se alguém disser que rolou um dado 300 vezes e obteve um total de 1.653, o teorema pode ajudar a calcular a média esperada dessas jogadas e concluir que esse resultado é extremamente improvável, indicando que a pessoa pode estar mentindo.

O TLC também tem relevância no controle de qualidade em processos industriais. A distribuição normal serve como base para muitos procedimentos de controle estatístico. Quando as principais fontes de variação em um processo de fabricação são identificadas e controladas, as variações residuais, causadas por um grande número de fatores independentes, tendem a seguir uma distribuição normal. Isso permite identificar e corrigir variações indesejadas de forma eficiente.

Em resumo, o Teorema do Limite Central é amplamente utilizado em diversas áreas, fornecendo uma ferramenta poderosa para entender padrões em dados aleatórios. Ele revela uma regularidade oculta em meio ao caos aparente, oferecendo uma base matemática para previsões e análises de dados em um mundo repleto de incertezas. 

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